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Lois de composition
\mbox {munir un ensemble E d'une structure, c'est definir sur E } \\ \mbox {un ensemble fini de lois de composition, internes ou externes,} \\ \mbox {assujetties a verifier un certain nombre de conditions,} \\ \mbox { appelees axiomes de la structure en question}
\mbox {Une loi de composition interne * dans un ensemble G } \\ \mbox {est une application } x*y : G\times G -> G \mbox { on verifie } \forall (x,y)\in G^2 \mbox { alors } x*y\in G
\mbox {Une loi de composition externe a gauche (reciproquement à droite) notee * } \\ \mbox {sur un ensemble E ayant pour domaine d'operateurs l'ensemble } \Omega \\ \mbox {est une application } \lambda *x : \Omega \times E -> E \mbox { on verifie }\\ \forall \lambda \in \Omega \mbox { et } \forall x \in E \mbox { alors } \lambda *x \in E
-morphisme
\mbox {deux structures respectivement definies sur deux ensembles E et F } \\ \mbox {seront dites homologues si:} \\ \\ \mbox { 1- les lois de composition sur E et F internes ou externes} \\ \mbox { sont en meme nombre et les lois externes font intervenir } \\ \mbox {les memes domaines d'operateurs } \\ \\ \mbox {2- les axiomes des structures de E et F sont identiques : } \\ \mbox {on peut etablir entre les lois de E et celles de F } \\ \mbox {une correspondance telle que les lois qui se correspondent verifient } \\ \mbox {les memes axiomes. } \\ \\ \\ \mbox {Le lien entre les divers ensembles munis de structures } \\ \mbox {homologues deux a deux est un morphisme}
\mbox {Soient } E \mbox { et } E^{\ \prime } \mbox { deux ensembles munis de structures homologues} \\ \\ \mbox { les lois internes de E etants notees }V_i \mbox { les lois externes de E etants notees }\wedge _j \\ \mbox {les lois internes de }E^{\ \prime } \mbox { etants notees }V_i^{\ \prime } \mbox { les lois externes de }E^{\ \prime } \mbox { etants notees }\wedge _j^{\ \prime } \\ \\ \mbox {par ailleurs on considere }\Omega _j \\ \mbox {les domaines d'operateurs correspondants aux lois externes}\\ \\ \mbox {on note n le nombre de lois internes de E ou de }E^{\ \prime }\\ \mbox {on note p le nombre de lois externes de E ou de }E^{\ \prime }
\mbox {on dit qu'une application }f:E\rightarrow E^{\ \prime } \\ \mbox {est un morphisme pour la structure consideree si:}\\ \\ \forall i\in \mathbb {N}^*_n \mbox { et } \forall (x,y)\in E^2 \\ \mbox { alors } f(x\ V_i \ y)=f(x)\ V_i^{\ \prime } \ f(y) \\ \forall j\in \mathbb {N}^*_p \mbox { et } \forall x\in E \ { et }\ \forall \lambda \in \Omega _j \\ \mbox { alors } f(\lambda \ \wedge _j \ x)=\lambda \ \wedge _j^{\ \prime } \ f(x)
-composée d'un morphisme
\mbox {soient deux morphismes } f:G-> G^{\ \prime }\mbox { et } g:G^{\ \prime }->G^{\ \prime \ \prime } \\ \mbox { alors } gof:G->G^{\ \prime \ \prime } \mbox { est un morphisme }
-isomorphisme
\mbox {si } f:G-> G^{\ \prime } \mbox { est un morphisme bijectif alors } \\ f^{-1}:G^{\ \prime }-> G \mbox { est aussi un morphisme bijectif} \\ \mbox { on dit alors que f est un isomorphisme et que G et } G^{\ \prime }\mbox { sont isomorphes}
-terminologie
\mbox {un morphisme est aussi appele un homomorphisme }\\ \mbox { un endomorphisme de E est un morphisme de E dans E }\\ \mbox {un automorphisme de E est un isomorphisme de E sur E }\\ \mbox {par abus de langage et dans la condition qu'il n'y a pas de confusion possible }\\ \mbox {il arrive que l'on designe par E l'ensemble E munis de sa ou ses structure(s)}\\ \mbox {lorsque l'on se permet cet abus de langage }\\ \mbox {et que l'on veut revenir sur l'ensemble E }\\ \mbox {on parle alors de l'ensemble sous-jacent a E}
-parties stables, lois induites, homomorphisme
\mbox {Soit } E \mbox { muni d'une structure definie selon } \\ \\ \mbox { les lois internes de E etants notees }V_i \mbox { les lois externes de E etants notees }\wedge _j \\ \mbox {avec n le nombre de lois internes et p le nombre de lois externes }\\ \mbox {par ailleurs on considere }\Omega _j \\ \mbox {les domaines d'operateurs correspondants aux lois externes}
\mbox {Alors une partie F de E est stable pour les lois de E si:}\\ \forall i\in \mathbb {N}^*_n \mbox { et } \forall (x,y)\in F^2 \\ \mbox { alors } x\ V_i \ y\in F \\ \forall j\in \mathbb {N}^*_p \mbox { et } \forall x\in F \ { et }\ \forall \lambda \in \Omega _j \\ \mbox { alors } \lambda \ \wedge _j \ x\in F
\mbox {Soit alors F une partie stable de E on designe par } V_i^{\ \prime \ \prime } \\ \mbox { la restriction de } V_i \mbox { sur } F\times F \\ \mbox {alors }V_i^{\ \prime \ \prime } \mbox { est une application de } F\times F \mbox { dans } E \\ \mbox {dire que F est stable reviens a dire que } \\ \mbox {l'image de } V_i^{\ \prime \ \prime } \mbox { est contenue dans F } \\ \mbox {de sorte que si on note} V_i^{\ \prime } \mbox { l'application de } F\times F \mbox { dans } F \\ \mbox { alors } V_i^{\ \prime } \mbox { deviens une loi de composition sur F}\\ \mbox {meme remarque avec la restriction } \wedge _j^{\ \prime \ \prime } \\ \mbox {alors } \wedge _j^{\ \prime } \mbox { deviens une loi de composition sur F}
\mbox {on dit alors que les lois internes } V_i^{\ \prime } \mbox { et externes } \wedge _j^{\ \prime } \\ \mbox { composent la structure induite (par celle de E) sur F } \\ \mbox {ces lois sont dites induites}
\mbox {cette structure induite n'est pas forcement homologue avec celle de E } \\ \mbox {car les lois } V_i^{\ \prime } \mbox { et } \wedge _j^{\ \prime } \mbox { ne verifie pas necessairement } \\ \mbox {les memes axiomes que les } V_i \mbox { et } \wedge _j \\ \mbox { si cette structure induite est homologue avec celle de E } \\ \mbox {alors l'injection canonique de F dans E est un homomorphisme}
-structure quotient
\mbox {Soit } E \mbox { muni d'une structure definie selon } \\ \\ \mbox { les lois internes de E etants notees }V_i \mbox { les lois externes de E etants notees }\wedge _j \\ \mbox {avec n le nombre de lois internes et p le nombre de lois externes }\\ \mbox {par ailleurs on considere }\Omega _j \\ \mbox {les domaines d'operateurs correspondants aux lois externes}
\mbox {une relation d'equivallence }\mathfrak {R} \\ \mbox {sur E est dite compatible avec la loi interne } V_i \\ \mbox { si les relations } (x,y,x^{\mbox { }\prime },y^{\mbox { }\prime })\in E^4,x^{\mbox { }\prime }\ \mathfrak {R}\ x,y^{\mbox { }\prime }\ \mathfrak {R}\ y \\ \mbox {impliquent la relation } ( x^{\mbox { }\prime }\ V_i\ y^{\mbox { }\prime } )\ \mathfrak {R}\ ( x\ V_i\ y )
\mathfrak {R} \mbox { est compatible avec la loi externe }\wedge _j\\ \mbox { si les relations } \lambda \in \Omega _j,(x,x^{\mbox { }\prime })\in E^2, x^{\mbox { }\prime }\mathfrak\ {R}\ x \\ \mbox {impliquent la relation } ( \lambda \ \wedge _j \ x^{\mbox { }\prime } )\ \mathfrak {R}\ ( \lambda \ \wedge _j\ x )
\mathfrak {R} \mbox { est compatible avec la structure de E si }\\ \mathfrak {R} \mbox { est compatible avec toutes les lois de E}
\mbox {Supposons qu'il en soit ainsi, et designons par } \overline {E}\\ \mbox {l'ensemble quotient }E/\mathfrak {R}\mbox { par }p:E \rightarrow \overline {E}\mbox { l'application canonique }\\ \mbox {pour } (X,Y)\in \overline {E}^2 \mbox { , la classe d'equivallence }p(x\ V_i \ y) \mbox { avec } x\in X \mbox { et } y\in Y \\ \mbox {ne depend que de X et Y }\\ \mbox {si nous notons } X\ \overline {V_i}\ Y \mbox {cette classe nous definissons une loi interne } \overline {V_i} \mbox { sur } \overline {E}
\mbox {de meme pour } \lambda \in \Omega_j \mbox { et } X\in \overline {E}\\ \mbox {l'element } p(\lambda \ \wedge _j\ x) \mbox { est independant de x choisi dans X et si nous le notons }\lambda \ \overline {\wedge _j} \ X \\ \mbox {nous definissons sur } \overline {E} \mbox { une loi externe }\overline {\wedge _j}\mbox { de domaine } \Omega _j\\\mbox {ces lois s'appellent les lois quotients de celles de E par } \mathfrak {R}
\mbox {Si } \mathfrak {R}\mbox { designe une relation d'equivallence compatible avec les lois de E}\\ \mbox {la structure definie sur l'ensemble quotient }\overline {E}=E/ \mathfrak {R} \\ \mbox { par les lois quotient de celles de E par } \mathfrak {R}\mbox { est appellee structure quotient } \\ \mbox { (de la structure de E par } \mathfrak {R})
REMARQUES
\mbox {1) la structure quotient n'est pas forcement homologue avec celle de E } \\ \mbox {2)Si la structure quotient est homologue avec celle de E, } \\ \mbox { l'application canonique } p:E\rightarrow \overline {E}=E/ \mathfrak {R}\mbox { est un homomorphisme}\\ \mbox { de plus p est surjectif }
\mbox {Reciproquement soient E et } E^{\mbox { } \prime}}\mbox { deux ensembles }\\ \mbox { munis de structures homologues , et soit }p:E \rightarrow E^{ \mbox { } \prime }\mbox { un morphisme surjectif }\\ \mbox { designons par } \mathfrak {R}\mbox { la relation d'equivallence associee avec f }\\ \mbox { de sorte que }(x\ \mathfrak {R}\ y) \mbox { equivaut avec } f(x)=f(y)
\mbox {si } V_i \mbox { est une loi interne de E et }\\ V_i^{ \mbox { } \prime } \mbox { la loi de } E^{ \mbox { } \prime }\mbox { correspondante alors }\\ \mathfrak {R}\mbox { est compatible avec } V_i \mbox { car les relations } (x^{ \mbox { } \prime }\ \mathfrak {R}\ x) \mbox { et } (y^{ \mbox { } \prime }\ \mathfrak {R}\ y)\\ \mbox {impliquent } f(x^{ \mbox { } \prime })=f(x) \mbox { et } f(y^{ \mbox { } \prime })=f(y)\\ \mbox {de sorte que (puisque f est un morphisme) on obtiens:}
f(x\ V_i \ y)=f(x)\ V_i^{ \mbox { } \prime }\ f(y)=f(x^{ \mbox { } \prime })\ V_i^{ \mbox { } \prime }\ f(y^{ \mbox { } \prime })=f(x^{ \mbox { } \prime }\ V_i\ y^{ \mbox { } \prime })\\ \\ (x\ V_i\ y)\ \mathfrak {R} \ (x^{ \mbox { } \prime }\ V_i\ y^{ \mbox { } \prime })
\mbox {on montre de meme que } \mathfrak {R} \mbox { est compatible avec les lois externes de E }\\ \mbox {introduisons la decomposition canonique de } f\ : \\ \\ E \overset {p}{\rightarrow } E/\mathfrak {R}\overset {\overline {f}}{\rightarrow }F\\ \\ \mbox {avec p est l'application canonique et }\overline {f} \mbox { la bijection canonique } \\ \mbox { qui est un isomorphisme de } E/\mathfrak {R}\\ \mbox {muni de la structure quotient sur F}
\mbox {si }f:E\rightarrow F \mbox { est un morphisme quelconque,} \\ \mbox { l'image de f(E) est une partie stable de F } \\ \mbox { et on peut appliquer ce qui precede en remplacant } \\ \mbox { F par f(E) muni de la structure induite }
\mbox { Theoreme : decomposition canonique des homomorphismes}\\ \\ \mbox {Soit } f:E\rightarrow F \mbox { un morphisme E } \\ \mbox { et F etants des ensembles munis de structures homologues } } \\ \mbox {Designons par }\mathfrak {R} \mbox { la relation d'equivallence associee avec } f \\ \mbox { par } p:E\rightarrow E/\mathfrak {R} \mbox { l'application canonique } \\ \mbox { par }j:f(E)\rightarrow F \mbox { l'injection canonique } \\ \mbox { et par } \overline {f}:E/\mathfrak {R}\rightarrow f(E) \mbox { la bijection canonique de sorte que } f=j\ o\ \overline {f}\ o\ p
\mbox {Alors f(E) est une partie stable de F et } \mathfrak {R} \mbox { est compatible avec les lois de E }\\ \mbox {De plus si la structure quotient de } E/\mathfrak {R} \mbox { est homologue avec celle de E alors } \\ \mbox { lorsqu'on munit } E/\mathfrak {R} \mbox { de cette structure et f(E) de la structure induite on verifie } \\ p,j \mbox { et } \overline {f} \mbox { sont des morphismes et } \overline {f} \mbox { est un isomorphisme }
E \overset {p}{\rightarrow } E/\mathfrak {R}\overset {\overline {f}}{\rightarrow }f(E)\overset {j}{\rightarrow }F\\ E \overset {f}{\rightarrow }F
PROPRIETES
\mbox {Dans tout ce qui suit ici sur les lois de composition } \\ \mbox { On designe par E un ensemble muni d'une loi de composition interne notee T }\\
x_1,x_2,...,x_n \mbox {sont elements de E et on considere la suite } (X_i) \mbox { selon }\\ X_1=x_i\ \ ,\ \ X_k=X_{k-1}\ T\ x_k \ \mbox { avec } k\in \mathbb {N}_n^* \\ \mbox { on note } \underset{i=1}{\overset{n}{T}}\ x_i \mbox { est l'element } X_n \mbox { de E}
x_1,x_2,...,x_n \mbox {sont elements de E et on considere la suite } (X_i) \mbox { selon }\\ X_1=x_i\ \ ,\ \ X_k=X_{k-1}\ T\ x_k \ \mbox { avec } k\in \mathbb {N}_n^* \\ \mbox { on note } \underset{i=1}{\overset{n}{T}}\ x_i \mbox { est l'element } X_n \mbox { de E}
-associativité
\mbox {la loi T est dite associative si la relation suivante est vraie}\\ \forall (x,y,z)\in E^3 \mbox { on verifie }(x\ T\ y)\ T\ z=x\ T\ (y \ T \ z)\\ \mbox {dans ce cas on note }(x\ T\ y)\ T\ z= x\ T\ y\ T\ z
-associativité généralisée
\mbox {Soient T une loi associative sur E et } x_1,x_2,...,x_n \\ \mbox {sont elements de E avec } n\geq 3\\ \mbox { on designe par } \{J_1,...,J_m\} \mbox { une partition de }\mathbb {N}_n^* \\ \mbox {telle que pour } q\ <\ r \mbox { les relations } i\in J_q \mbox { et }j\in J_r \mbox { impliquent } i\ <\ j
\mbox {Posant }J_h=\{i_{1h},i_{2h},...,i_{ph} \}\mbox { avec } i_{kh}=k-1+i_{1h} \mbox { avec } 1\leq k \leq p\\ \mbox {et en designant par } X_h \mbox { l'element }\underset{\lambda =1}{\overset{p}{T}}\ x_{\lambda h} \mbox { alors } \underset{i=1}{\overset{n}{T}}\ x_i=\underset{h=1}{\overset{m}{T}}\ X_h \\ \mbox {ce qui signifie que pour calculer la composition }\ x_1\ T\ ...\ T\ x_n \\ \mbox { on peut faire arbitrairement des groupements de termes,} \\ \mbox { pourvu que leur ordre soit conserve }
-élément neutre
\mbox {Soit T une loi sur E , un element e de E est neutre sur la droite si }\\ \forall x\in E\ ,\ x\ T\ e=x \\ \mbox { respectivement sur la gauche } \forall x\in E\ ,\ e\ T\ x=x\\ \mbox {e est neutre s'il est neutre sur la droite et sur la gauche }
\mbox {Si } \mathfrak {R} \mbox { est une relation d'equivallence sur E compatible avec T } \\ \mbox { et si e est neutre (respectivement neutre sur la droite ou sur la gauche) } \\ \mbox { alors l'image p(e) de e par l'application canonique } p:E\rightarrow E/ \mathfrak {R} \mbox { est neutre } \\ \mbox { (respectivement neutre sur la droite ou sur la gauche)} \mbox { pour la structure quotient}
\mbox {pour une loi T donnee, E possede au plus un element neutre e } \\ \mbox { en effet si } e \mbox { et } e^{\mbox { }\prime } \mbox { sont des elements neutre alors } e\ T \ e^{\mbox { }\prime } =e=e^{\mbox { }\prime }
-élément régulier
\mbox {Soit T une loi et un element a de E } \\ \mbox { cet element a est regulier sur la droite si } \\ \mbox { l'application } x|\rightarrow x\ T\ a \mbox { est injective } \\ \mbox {en d'autre termes si } x\ T\ a = y \ T\ a \mbox { implique } x=y\\ \mbox {a est regulier sur la gauche si l'application } x|\rightarrow a\ T\ x \mbox { est injective } \\ \mbox {a est dit regulier s'il est regulier sur la droite et sur la gauche }
-commutativité
\mbox {La loi T sur E est commutative si } \forall (x,y)\in E^2 \mbox { on verifie }\\ x\ T\ y=y\ T\ x
THEOREMES
\mbox {1) les notions de neutre sur la gauche et neutre sur la droite }\\ \mbox {les notions de regulier sur la gauche et regulier sur la droite }\\ \mbox {toutes ces notions coincident lorsque la loi est commutative }
\mbox {2) Soit une loi T sur E un ensemble fini de n elements } \\ \mbox { alors il peut exister au maximum n elements indifferements } \\ \mbox { reguliers ou reguliers sur la gauche ou reguliers sur la droite dans cet ensemble} \\ \mbox {en effet on peut munir } E^2 \mbox { d'une relation d'equivallence } \mathfrak {R} \\ \mbox { telle que X=(ab) et Y=(cd) appartiennent a la meme classe si b=d} \\ \mbox { de sorte que les classes de } E/\mathfrak {R} \mbox { possedent toutes n elements } \\ \mbox { Il resulte donc que l'on peut definir une bijection }f:E/\mathfrak {R}\rightarrow E \\ \mbox { et ce faisant definir n elements reguliers sur la droite}
\mbox { De meme on peut munir } E^2 \mbox { d'une relation d'equivallence } \mathfrak {R} \\ \mbox { telle que X=(ab) et Y=(cd) appartiennent a la meme classe si a=c } \\ \mbox { de sorte que les classes de } E/\mathfrak {R} \mbox { possedent toutes n elements } \\ \mbox {Il resulte donc que l'on peut definir une bijection }f:E/\mathfrak {R}\rightarrow E \\ \mbox { et ce faisant definir n elements reguliers sur la gauche }
\mbox {premier exemple: }\\ x_1*x_1=x_1\\x_1*x_2=x_2\\x_2*x_1=x_1\\x_2*x_2=x_1\\
x_1 \mbox { est regulier sur la gauche et } x_2 \mbox { est regulier sur la droite }\\ \\ \mbox {deuxieme exemple: }\\ x_1*x_1=x_1\\x_1*x_2=x_2\\x_2*x_1=x_2\\x_2*x_2=x_1\\
x_1 \mbox { et } x_2 \mbox { sont reguliers }
x_1 \mbox { est regulier sur la gauche et } x_2 \mbox { est regulier sur la droite }\\ \\ \mbox {deuxieme exemple: }\\ x_1*x_1=x_1\\x_1*x_2=x_2\\x_2*x_1=x_2\\x_2*x_2=x_1\\
x_1 \mbox { et } x_2 \mbox { sont reguliers }
\mbox {3) les proprietes d'associativite et de commutativite se conservent toujours} \\ \mbox {par passage sur la structure quotient ou sur la structure induite} \\ \mbox {Que celles-ci soient homologues ou non avec la structure donnee }
\mbox {4) Soit T une loi associative et commutative et soient }\\ x_1,x_2,...x_n \mbox { des elements de E}\\ \mbox {Pour toute permutation } \sigma \mbox { de } \mathbb {N}_n^* \mbox { alors } \underset{i=1}{\overset{n}{T}}x_i=\underset{i=1}{\overset{n}{T}}x_{\sigma (i)}\\ \mbox {dans ce cas on pourra noter }\underset{1\leq i \leq n}{\overset{n}{T}}x_i \mbox { sans preciser l'ordre des } x_i
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\mbox {fin de page}